判断下列3维向量的集合是不是R
3
的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基：
(Ⅰ)W
1
={(x，y，x)｜x＞0}；
(Ⅱ)W
2
={x，y，z)｜x=0}；
(Ⅲ)W
3
={(x，y，z)｜x+y－2z=0}；
(Ⅳ)W
4
：{(x，y，z)｜3x－2y+z=1}；
(Ⅴ)W
5
={(x，y，z｜
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)W
1
不是子空间，因为W
1
对数乘向量不封闭．例如α=(1，2，3)∈W
1
，但k＜0时，kα=(k，2k，3k)
W
1
． (Ⅱ)W
2
是子空间．因为α=(0，a，b)，β=(0，c，d)∈W
2
，而 α+β=(0，a+c，b+d)∈W
2
， kα=(0，ka，kb)∈W
2
， 即W
2
对于运算封闭，W
2
是子空间．又(0，1，0)，(0，0，1)线性无关且能表示W
2
中任一向量，因而是W
2
的一组基，那么dimW
2
=2． (Ⅲ)W
3
是子空间，如α，β∈W
3
，即α，β是齐次方程x+y一2z=0的解．由于α+β，kα仍是解，故α+β∈W
3
， kα∈W
3
，W
3
对运算封闭，是子空间． (－1，1，0)，(2，0，1)是基础解系，也就是W
3
的一组基，那么dimW
3
=2． (Ⅳ)W
4
不是子空间．因为非齐次方程组的解相加不再是此方程组的解，即W
4
对加法不封闭． (Ⅴ)W
5
不是子空间，因为条件等同于
W
1
． (Ⅱ)W
2
是子空间．因为α=(0，a，b)，β=(0，c，d)∈W
2
，而 α+β=(0，a+c，b+d)∈W
2
， kα=(0，ka，kb)∈W
2
， 即W
2
对于运算封闭，W
2
是子空间．又(0，1，0)，(0，0，1)线性无关且能表示W
2
中任一向量，因而是W
2
的一组基，那么dimW
2
=2． (Ⅲ)W
3
是子空间，如α，β∈W
3
，即α，β是齐次方程x+y一2z=0的解．由于α+β，kα仍是解，故α+β∈W
3
， kα∈W
3
，W
3
对运算封闭，是子空间． (－1，1，0)，(2，0，1)是基础解系，也就是W
3
的一组基，那么dimW
3
=2． (Ⅳ)W
4
不是子空间．因为非齐次方程组的解相加不再是此方程组的解，即W
4
对加法不封闭． (Ⅴ)W
5
不是子空间，因为条件等同于
【答案解析】解析： 要判断W是不是子空间，就是要检查W对于向量的加法及数乘这两个运算是否封闭．如W是子空间，则W中向量的极大线性无关组就是一组基，而向量组的秩就是子空间的维数．