问答题
设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，X
1
，X
2
，…，X
n
是取自总体X的简单随机样本，
=max(X
1
，…，X
n
)．
(I)求θ的矩估计量和最大似然估计量；
(Ⅱ)求常数a，b，使
=bX(n)的数学期望均为θ，并求
=max(X
1
，…，X
n
)．
(I)求θ的矩估计量和最大似然估计量；
(Ⅱ)求常数a，b，使
=bX(n)的数学期望均为θ，并求
【正确答案】正确答案：(I)依题意总体X的密度函数、分布函数分别为
又样本X
1
，…，X
n
的似然函数为
L(θ)为θ的单调减函数，且0≤x
i
≤θ，即θ要取大于x
i
的一切值，因此θ的最小取值为max(x
1
，…，x
n
)，θ的最大似然估计量
=max(X
1
，…，X
n
)=X(n)．
为求得b，必须求X(n)的分布函数F
(n)
(x)及密度函数f
(n)
(x)，由X(n)=max(X
1
，…，X
n
)得
又样本X
1
，…，X
n
的似然函数为
L(θ)为θ的单调减函数，且0≤x
i
≤θ，即θ要取大于x
i
的一切值，因此θ的最小取值为max(x
1
，…，x
n
)，θ的最大似然估计量
=max(X
1
，…，X
n
)=X(n)．
为求得b，必须求X(n)的分布函数F
(n)
(x)及密度函数f
(n)
(x)，由X(n)=max(X
1
，…，X
n
)得
【答案解析】