综合题
19.某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到0．1 km2)．
【正确答案】以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系(如图)，
依题意可设抛物线的方程为x2=2py，且C(2，4)．∴22=2p·4，∴P=
故曲线段OC的方程为y=x2(0≤x≤2)．
设P(x,x2)(0≤x≤2)是曲线段OC上的任意－点，则|PQ|=2+x，|PN|=4－x2
∴工业园区面积S=|PQ|．|PN|=(2+x)(4－x2)=8－x3－2x2+4=c．
∴S＇=－3x2－4x+4，令S＇=0→x1=
，x2=－2，又∵0≤x＜2，∴x=
当x∈[0，
)时，S＇＞0，S是x的增函数；当x∈[
，2)时，S＇＜0，S是x的减函数．
∴x=
时，S取到极大值，此时|PQ|=2+x=
，|PN|=4－x2=
,
S=
≈9．5(km2)，而当x=0时，S=8．
所以当x=
即|PM|=
，|PN|=
，矩形的面积最大为Smax=9．5(km2)．
答：把工业园区规划成长为
km，宽为
依题意可设抛物线的方程为x2=2py，且C(2，4)．∴22=2p·4，∴P=
故曲线段OC的方程为y=x2(0≤x≤2)．
设P(x,x2)(0≤x≤2)是曲线段OC上的任意－点，则|PQ|=2+x，|PN|=4－x2
∴工业园区面积S=|PQ|．|PN|=(2+x)(4－x2)=8－x3－2x2+4=c．
∴S＇=－3x2－4x+4，令S＇=0→x1=
，x2=－2，又∵0≤x＜2，∴x=当x∈[0，
)时，S＇＞0，S是x的增函数；当x∈[，2)时，S＇＜0，S是x的减函数．∴x=
时，S取到极大值，此时|PQ|=2+x=，|PN|=4－x2=,S=
≈9．5(km2)，而当x=0时，S=8．所以当x=
即|PM|=，|PN|=，矩形的面积最大为Smax=9．5(km2)．答：把工业园区规划成长为
km，宽为【答案解析】