解答题
10.(2001年)已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)且
求函数项级数
求函数项级数
【正确答案】由已知条件可知fn’(x)一fn(x)=xn-1ex，这是以fn(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中p(x)=一1，q(x)=xn-1ex，代入通解公式
f(x)=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dx+C)，
得其通解为
记
．收
敛区间为(一1，1)。当x∈(一1，1)时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，
故根据函数积分和求导的关系∫f’(x)dx=f(x)+C，得∫0xS’(x)dx=S(x)|0x=S(x)一S(0)，
当x=一1时，
级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到x=一1处，即
f(x)=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dx+C)，
得其通解为
记
．收敛区间为(一1，1)。当x∈(一1，1)时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，
故根据函数积分和求导的关系∫f’(x)dx=f(x)+C，得∫0xS’(x)dx=S(x)|0x=S(x)一S(0)，
当x=一1时，
级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到x=一1处，即【答案解析】