解答题
7.已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax=0的基础解系．
【正确答案】证法1：由于
故β1，β2，β3，β4线性无关的充分必要条件是
即t≠±1时，β1，β2，β3，β4为Ax=0的基础解系．
证法2： 设k1，k2，k3，k4使
k1(α1+tα2)+k2(α2+tα3)+k3(α3+tα4)+k4(α4+tα1)=0，
即 (k1+tk4)α1+(tk1+k2)α2+(tk2+k3)α3+(tk3+k4)α4=0，
由于α1，α2，α3，α4线性无关，得
故β1，β2，β3，β4线性无关的充分必要条件是
即t≠±1时，β1，β2，β3，β4为Ax=0的基础解系．
证法2： 设k1，k2，k3，k4使
k1(α1+tα2)+k2(α2+tα3)+k3(α3+tα4)+k4(α4+tα1)=0，
即 (k1+tk4)α1+(tk1+k2)α2+(tk2+k3)α3+(tk3+k4)α4=0，
由于α1，α2，α3，α4线性无关，得
【答案解析】本题考查齐次线性方程组的基础解系的概念、解的性质和向量组线性相关性的证明方法，注意到β1，β2，β3，β4是Ax=0的基础解系的充分必要条件是β1，β2，β3，β4线性无关．