问答题
设A是n阶矩阵，证明：
1.r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβT；
1.r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβT；
【正确答案】若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即
于是
于是
【答案解析】
【正确答案】因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．
令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2-kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E-A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．
令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2-kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E-A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．
【答案解析】