解答题
5.某闸门的形状与大小如图1—3—7所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少米?
【正确答案】[详解1] 设ρ为水的密度，g为重力加速度．如图1—3—8建立坐标系，则抛物线的方程为
y＝x2．
闸门的矩形部分承受的水压力
闸门的下部承受的水压力
由题设知
，
解得h＝2，
(舍去)．
故闸门的矩形部分高h应为2米．
[详解2] 如图1—3—9建立坐标系，则抛物线的方程为x＝h＋1－y2．
闸门的矩形部分承受的水压力
。
闸门的下部承受的水压力
，
令
，得
由
，
解得h＝2，
(舍去)。
故闸门的矩形部分高h应为2米．
y＝x2．
闸门的矩形部分承受的水压力
闸门的下部承受的水压力
由题设知
，解得h＝2，
(舍去)．故闸门的矩形部分高h应为2米．
[详解2] 如图1—3—9建立坐标系，则抛物线的方程为x＝h＋1－y2．
闸门的矩形部分承受的水压力
。闸门的下部承受的水压力
，令
，得由
，解得h＝2，
(舍去)。故闸门的矩形部分高h应为2米．
【答案解析】[分析] 先利用定积分求出两部分所受的水压力的表达式，再根据二者的关系确定h．
[评注] 本题是定积分的应用题型之一，关键是建立适当的坐标系，用微元法找出水压力的表达式．
[评注] 本题是定积分的应用题型之一，关键是建立适当的坐标系，用微元法找出水压力的表达式．