问答题
设二次型
满足
AB=O，其中
满足
AB=O，其中
问答题
用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；
【正确答案】
【答案解析】解 由题设条件
，故B的3个列向量都是Ax=0的解向量，也是A的对应于λ=0的特征向量，其中
线性无关且正交，
，故λ=0至少是二重特征值．
又因
，另一个特征值是λ
3
=2，故λ
1
=λ
2
=0是二重特征值．因A是实对称矩阵，故对应λ
3
=2的特征向量应与ξ
1
，ξ
2
正交，设ξ
3
=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则有
取ξ
3
=(1，1，-2)
T
．
故存在正交变换x=Qy，其中
，使得
，故B的3个列向量都是Ax=0的解向量，也是A的对应于λ=0的特征向量，其中
线性无关且正交，
，故λ=0至少是二重特征值．
又因
，另一个特征值是λ
3
=2，故λ
1
=λ
2
=0是二重特征值．因A是实对称矩阵，故对应λ
3
=2的特征向量应与ξ
1
，ξ
2
正交，设ξ
3
=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则有
取ξ
3
=(1，1，-2)
T
．
故存在正交变换x=Qy，其中
，使得
问答题
求该二次型；
【正确答案】
【答案解析】解 先求二次型对应矩阵，因
故
故所求二次型为
故
故所求二次型为
问答题
f(x
1
，x
2
，x
3
)=1表示什么曲面?
【正确答案】
【答案解析】解 法一 由标准形知
表示两个平行平面．
法二 由题得二次型
若f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1，得
表示两个平行平面．
法二 由题得二次型
若f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1，得