解答题已知随机变量(X，Y)的概率密度

问答题常数a；

【正确答案】解：由归一性知，解得

【答案解析】

问答题条件概率密度f_X|Y(x|y)；

【正确答案】解：由上小题可知，所以当0≤y≤1时，随机变量y的概率密度为所以

【答案解析】

问答题在条件Y=0.5下，X的条件概率密度．

【正确答案】解：由上小题可知，将y=0.5代入fX|Y(x|y)得

【答案解析】

问答题就常数a的不同取值情况，讨论方程xe^-x=a(a＞0)的实根．

【正确答案】解：令f(x)=xe-x-a，则f'(x)=(1-x)e-x，f'(x)=(x-2)e-x．令f'(x)=0，得驻点x=1．由于当x∈(-∞，1)时，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，1)单调增加，当x∈(1，+∞)时，f'(x)＜0，f(x)在(1，+∞)内单调减少，所以f(x)在x=1处取得极大值，即最大值为f(1)=e-1-a．则①当e-1-a＜0时，即时，f(x)≤f(1)＜0，方程xe-x=a无实根． ②当e-1-a=0，即时，只有f(1)=0，而当x≠1时，f(x)＜f(1)=0，方程xe-x=a只有一个实根x=1． ③当e-1-a＞0，即时，由于(xe-x-a)=-∞，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(-∞，1)内单调增加，则f(x)=0在(-∞，1)内只有一个实根．又因(xe-x-a)=-a＜0，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(1，+∞)内单调递减，则f(x)=0在(1，+∞)内只有一个实根．所以方程xe-x=a正好有两个实根．

【答案解析】[考点] 方程的根与导数的应用．先确定函数的极值(或最值)，然后利用函数的几何性态讨论确定方程根的个数情况．

问答题设f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，r(A)=1，A的每行元素之和为2，当X=β=[2，4，0]^T时，
求f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX在β处的值，即f(x₁，x₂，x₃)|_X=β=β^TAβ．

【正确答案】解：因A有λ1=2，对应的特征向量为又r(A)=1，|A|=0，故A有特征值λ2=λ3=0(二重)，对应λ2=λ3=0的特征向量设为ξ=[x1，x2，x3]T，则ξ和ξ1正交．易得ξ2=[1，-1，0]T，ξ3=[1，1，-2]T(取ξ2也与ξ3正交)，将β由ξ1，ξ2，ξ3线性表示，设为β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，由解得x1=2，x2=-1，x3=1，即β=2ξ1-ξ2+ξ3．故 f(x1，x2，x3)|X=β=βTAβ=(2ξ1-ξ2+ξ3)TA(2ξ1-ξ2+ξ3) =(2ξ1-ξ2+ξ3)TA·2ξ1=4(2ξ1-ξ2+ξ3)Tξ1 也可由A[ξ1，ξ2，ξ3]=[2ξ1，ξ2，ξ3]直接求得A，再计算βTAβ．其中

【答案解析】