解答题   求微分方程y'-2y'-3y=e-2x的通解.
 
【正确答案】齐次微分方程y'-2y'-3y=0对应的特征方程是 r2-2r-3=0. 解得特征根r1=-1,r2=3. 因此齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e3x. 原非齐次微分方程的自由项为f(x)=e-2x,且α=-2不是特征根. 则可设y*=Ae-2x为原非齐次方程的一个特解,代入该方程可得 4Ae-2x+4Ae-2x-3Ae-2x=e-2x. 解得A=.则y*=.因此原微分方程的通解为 y=Y+y*=C1e-x+C2e3x+(C1,C2为任意常数).
【答案解析】