问答题
若函数φ(x)及ψ(x)是x阶可微的，且φ
(k)
(x
0
)=ψ
(k)
(x
0
)，k=0，1，2，…，n一1，又x＞x
0
时，φ
(n)
(x)＞ψ
(n)
(x)．试证：当x＞x
0
时，φ(x)＞ψ(x) ．
【正确答案】正确答案：令u
(n－1)
(x)=φ
(n－1)
(x)－ψ
(n－1)
(x)．在[x
0
，x]上用微分中值定理得 u
(n－1)
(x)－u
(n－1)
(x
0
)=u
(n)
(ξ).(x－x
0
)，x
0
＜ξ＜x． 又由u
(n)
(ξ)＞0可知u
(n－1)
(x)－u
(n－1)
(x
0
)＞0．且u
(n－1)
(x
0
)=0，所以u
(n－1)
(x)＞0，即当 x＞x
0
时，φ
(n－1)
(x)＞ψ
(n－1)
(x)． 同理u
(n－2)
(x)=φ
(n－2)
(x)－ψ
(n－2)
(x)＞0． 归纳有
(n－3)
(x)＞0，…，u'(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x
0
时，φ(x)＞ψ(x)．
【答案解析】