问答题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数都为0，α=(1，2，-1)
T
满足Aα=2α。
(Ⅰ)求x
T
Ax的表达式；
(Ⅱ)求作正交变换x=Qy，把x
T
Ax化为标准二次型。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)设A=
，则条件Aα=2α即
得2a-b=2，a-c=4，b+2c=-2，解出a=b=2，c=-2。此二次型为4x
1
x
2
+4x
1
x
3
-4x
2
x
3
。 (Ⅱ)先求A的特征值
于是A的特征值就是2，2，-4，再求单位正交特征向量组：属于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解。
得(A-2E)x=0的同解方程组：x
1
- x
2
-x
3
=0。 显然β
1
=(1，1，0)
T
是一个解，设第二个解为β
2
=(1，-1，c)
T
(这样的设定保证了两个解是正交的！)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β
1
，β
2
，再把它们单位化：记
，属于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解。求出β
3
=(1，-1，-1)
T
是一个解，单位化：记
，则条件Aα=2α即
得2a-b=2，a-c=4，b+2c=-2，解出a=b=2，c=-2。此二次型为4x
1
x
2
+4x
1
x
3
-4x
2
x
3
。 (Ⅱ)先求A的特征值
于是A的特征值就是2，2，-4，再求单位正交特征向量组：属于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解。
得(A-2E)x=0的同解方程组：x
1
- x
2
-x
3
=0。 显然β
1
=(1，1，0)
T
是一个解，设第二个解为β
2
=(1，-1，c)
T
(这样的设定保证了两个解是正交的！)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β
1
，β
2
，再把它们单位化：记
，属于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解。求出β
3
=(1，-1，-1)
T
是一个解，单位化：记
【答案解析】