问答题
设A，B都是三阶矩阵，满足AB=A-B．若λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的三个不同的特征值，证明：
问答题
λ
i
≠-1(i=1，2，3)；
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由于AB=A-B，故A-B-AB+E=E，即(A+E)(E-B)=E，从而A+E可逆且其逆是E-B，那么|A+E|≠0，知λ=-1不是A的特征值．[解析] 要证λ=-1不是A的特征值，也就是要证|E+A|≠0，即A+E可逆．
问答题
存在可逆矩阵C，使C
-1
AC，C
-1
BC同时为对角矩阵．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由第一小题及可逆定义知(A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)．
从而AB=BA．设Ax 1 =λ 1 x 1 ，Ax 2 =λ 2 x 2 ，Ax 3 =λ 3 x 3 ，由于λ 1 ，λ 2 ，λ 3 是不同的特征值，故x 1 ，x 2 ，x 3 线性无关，且
另一方面，因为AB=BA，有ABx i =BAx i =B(Ax i )=λBx i ，i=1，2，3．
若Bx i ≠0，则Bx i 也是A关于λ i 的特征向量，且λ i 是单根，λ i 只有一个线性无关的特征向量，故必有Bx i =μ i x i ，知x i 是B关于μ i 的特征向量．
若Bx i =0，则Bx i =0x i ，知x i 是B关于λ=0的特征向量．
不论哪种情况，x i 都是B的特征向量，从而
可见C -1 BC=
．所以A，B可同时对角化．
[解析] 由于A有三个不同的特征值，设Ax
i
=λ
i
x
i
(i=1，2，3)，则x
1
，x
2
，x
3
线性无关．用分块矩阵
即C -1 AC=
，可见要证C
-1
BC=
从而AB=BA．设Ax 1 =λ 1 x 1 ，Ax 2 =λ 2 x 2 ，Ax 3 =λ 3 x 3 ，由于λ 1 ，λ 2 ，λ 3 是不同的特征值，故x 1 ，x 2 ，x 3 线性无关，且
另一方面，因为AB=BA，有ABx i =BAx i =B(Ax i )=λBx i ，i=1，2，3．
若Bx i ≠0，则Bx i 也是A关于λ i 的特征向量，且λ i 是单根，λ i 只有一个线性无关的特征向量，故必有Bx i =μ i x i ，知x i 是B关于μ i 的特征向量．
若Bx i =0，则Bx i =0x i ，知x i 是B关于λ=0的特征向量．
不论哪种情况，x i 都是B的特征向量，从而
可见C -1 BC=
．所以A，B可同时对角化．
[解析] 由于A有三个不同的特征值，设Ax
i
=λ
i
x
i
(i=1，2，3)，则x
1
，x
2
，x
3
线性无关．用分块矩阵
即C -1 AC=
，可见要证C
-1
BC=