已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．
【正确答案】正确答案：设旋转边上的高为z，分该边长为x与y，见图8.2，于是该三角形的周长为l＝x＋y＋
，该旋转体的体积V＝
π(x＋y)z
2
． 问题化成求V在条件l一2p＝0下的最大值点
求(x＋y)z
2
在条件l一2p＝0下的最大值点
求ln(x＋y)＋2lnz在条件x＋y＋
—2p＝0下的最大值点．用拉格朗日乘子法． 令F(x，y，z，λ)＝ln(x＋y)＋2lnz＋λ(x＋y＋
)，解方程组
由①，②
x＝y，再由④
⑤
由实际问题知，最大体积一定存在，以上又是方程组的唯一解，因而三角形的三边长分别为
，旋转边为
，该旋转体的体积V＝
π(x＋y)z
2
． 问题化成求V在条件l一2p＝0下的最大值点
求(x＋y)z
2
在条件l一2p＝0下的最大值点
求ln(x＋y)＋2lnz在条件x＋y＋
—2p＝0下的最大值点．用拉格朗日乘子法． 令F(x，y，z，λ)＝ln(x＋y)＋2lnz＋λ(x＋y＋
)，解方程组
由①，②
x＝y，再由④
⑤
由实际问题知，最大体积一定存在，以上又是方程组的唯一解，因而三角形的三边长分别为
，旋转边为
【答案解析】