单选题
以下3个命题：
①若数列{u
n
}收敛于A，则其任意子数列
必定收敛于A；
②若单调数列{x
n
}的某一子数列
必定收敛于A；
②若单调数列{x
n
}的某一子数列
【正确答案】
D
【答案解析】解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{u
n
}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有 |u
n
一A|＜ε， 则当n
i
＞N时，恒有 |u
ni
一A|＜ε， 因此数列{u
ni
}也收敛于A，可知命题正确． 对于命题②，不妨设数列{x
n
}单调增加，即 x
1
≤x
2
≤…≤x
n
≤…， 其中某一给定子数列
收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n
i
＞N时，恒有 |
一A|＜ε． 由于数列{x
n
}为单调增加的数列，对于任意的n＞N*(其中N*为子列
下标大于N的最小值)，必定存在n
i
≤n≤n
i+1
，有 一ε＜
≤x
n
一A≤
＜ε， 从而 |x
n
一A|＜ε． 可知数列{x
n
}收敛于A同理可证，当数列{x
n
}单调减少时，结论仍成立．因此命题正确． 对于命题③，因
由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N
1
，N
2
： 当2n＞N
1
时，恒有 |x
2n
一A|＜ε； 当2n+1＞N
2
时，恒有 |x
2n+1
一A|＜ε． 取N=max{N
1
，N
2
}，则当n＞N时，总有 |x
n
一A|＜ε， 因此
收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n
i
＞N时，恒有 |
一A|＜ε． 由于数列{x
n
}为单调增加的数列，对于任意的n＞N*(其中N*为子列
下标大于N的最小值)，必定存在n
i
≤n≤n
i+1
，有 一ε＜
≤x
n
一A≤
＜ε， 从而 |x
n
一A|＜ε． 可知数列{x
n
}收敛于A同理可证，当数列{x
n
}单调减少时，结论仍成立．因此命题正确． 对于命题③，因
由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N
1
，N
2
： 当2n＞N
1
时，恒有 |x
2n
一A|＜ε； 当2n+1＞N
2
时，恒有 |x
2n+1
一A|＜ε． 取N=max{N
1
，N
2
}，则当n＞N时，总有 |x
n
一A|＜ε， 因此