单选题
设向量组α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，若要求向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
线性无关，则n应满足什么条件?
【正确答案】正确答案：解法1用定义证明． 设一组数k
1
，k
2
，…，k
n
，使得 k
1
(α
1
+α
2
)+k
2
(α
2
+α
3
)+…+k
n－1
(α
n－1
+α
n
)+k
n
(α
n
+α
1
)=0， 即 (k
1
+k
n
)α
1
+(k
2
+k
1
)α
2
+…+(k
n－1
+k
n－2
)α
n－1
+(k
n
+k
n－1
)α
n
=0， 因为α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，则有
于是，向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
线性无关的充要条件是方程组(*)仅有零解，即系数行列式
=1+(－1)
n+1
≠0， 即向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
线性无关的充要条件是n为奇数． 解法2讨论两向量组转换矩阵的奇异性．由 (α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
)
知向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
线性无关的充要条件是其转换矩阵非奇异，即
于是，向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
线性无关的充要条件是方程组(*)仅有零解，即系数行列式
=1+(－1)
n+1
≠0， 即向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
线性无关的充要条件是n为奇数． 解法2讨论两向量组转换矩阵的奇异性．由 (α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
)
知向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n－1
+α
n
，α
n
+α
1
线性无关的充要条件是其转换矩阵非奇异，即
【答案解析】