设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f'(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．
【正确答案】正确答案：f(x)在x=a可展开成 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+
f''(a)(x-a)
2
+…+
f
(n)
(a)(x-a)
n
+o((x-a)
n
)(x→a)． 由x→a时f(x)是(x-a)的n阶无穷小
(a)=f'(a)=…=f
(n-1)
(a)=0，f
(n)
(a)≠0． 又f(x)在x=a邻域(n-1)阶可导，f
(n-1)
(x)在x=a可导． 由g(x)=f'(x)在x=a处n-1阶可导
g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+…+
g
(n-1)
(a)(x-a)
n-1
+o((x-a)
n-1
)， 即f'(x)=f'(a)+f''(a)(x-a)+…+
f
(n)
(a)(x-a)
n-1
+o((x-a)
n-1
) =
f''(a)(x-a)
2
+…+
f
(n)
(a)(x-a)
n
+o((x-a)
n
)(x→a)． 由x→a时f(x)是(x-a)的n阶无穷小
(a)=f'(a)=…=f
(n-1)
(a)=0，f
(n)
(a)≠0． 又f(x)在x=a邻域(n-1)阶可导，f
(n-1)
(x)在x=a可导． 由g(x)=f'(x)在x=a处n-1阶可导
g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+…+
g
(n-1)
(a)(x-a)
n-1
+o((x-a)
n-1
)， 即f'(x)=f'(a)+f''(a)(x-a)+…+
f
(n)
(a)(x-a)
n-1
+o((x-a)
n-1
) =
【答案解析】