问答题
求下列曲面积分：
(Ⅰ)I=
xyzdxdy+xzdydz+z
2
dzdx，其中∑是x
2
+z
2
=a
2
在x≥0的一半中被y=0和y=h(h＞0)所截下部分的外侧(见图9．60)；
(Ⅱ)I=
xy dzdx，其中s是由曲线x=
xyzdxdy+xzdydz+z
2
dzdx，其中∑是x
2
+z
2
=a
2
在x≥0的一半中被y=0和y=h(h＞0)所截下部分的外侧(见图9．60)；
(Ⅱ)I=
xy dzdx，其中s是由曲线x=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)本题实际上可以分三个积分计算，即I=I
1
+I
2
+I
3
． 将∑在yz平面上的投影记为D
yz
，则D
yz
：0≤y≤h，一a≤z≤a．注意到∑的法线方向与x轴正方向夹锐角，则 I
2
=
． 此时已化成了二重积分，注意到D
yz
关于y轴对称，而被积函数为z的奇函数，故I
2
=0． 由于∑垂直于zx平面(它在zx平面上的投影域面积为零)，故I
3
=
z
2
dzdx=0，而
所以， I=I
1
+I
2
+I
3
=
h
2
a
3
． (Ⅱ)曲面S的方程是：x=
(y
2
+z
2
≤a
2
)，见图9．61．S在yz平面上的投影区域Dw易求， D：y
2
+z
2
≤a
2
，x=0，又
， S的法向量与x轴正向成钝角，于是
． 此时已化成了二重积分，注意到D
yz
关于y轴对称，而被积函数为z的奇函数，故I
2
=0． 由于∑垂直于zx平面(它在zx平面上的投影域面积为零)，故I
3
=
z
2
dzdx=0，而
所以， I=I
1
+I
2
+I
3
=
h
2
a
3
． (Ⅱ)曲面S的方程是：x=
(y
2
+z
2
≤a
2
)，见图9．61．S在yz平面上的投影区域Dw易求， D：y
2
+z
2
≤a
2
，x=0，又
， S的法向量与x轴正向成钝角，于是
【答案解析】