单选题
设f(x)在区间(－∞，﹢∞)上连续，且满足f(x)＝∫
0
x
f(x－t)sin tdt﹢x．则在(－∞，﹢∞)上，当x≠0时，f(x) ( )
【正确答案】
C
【答案解析】解析：令x－t＝u，作积分变量代换，得 f(x)＝∫
x
0
f(u)sin(x－u)d(－u)﹢x＝∫
0
x
f(u)sin(x－u)du﹢x ＝sin x∫
0
x
f(u)cos udu－cos x∫
0
x
f(u)sinudu﹢x， f
’
(x)＝cos x∫
0
x
f(u)cos udu﹢sin x·cos x·f(x)﹢sin x∫
0
x
f(u)sin udu－cos x·sin x·f(x)﹢1 ＝cos x∫
0
x
f(u)cos udu﹢sin x∫
0
x
f(u)sin udu﹢1， f
”
(x)＝－sin x∫
0
x
f(u)cos udu﹢cos
2
x·f(x)﹢cos x∫
0
x
f(u)sin udu﹢sin
2
x·f(z) ＝f(x)－f(x)﹢x＝x， 所以f(x)＝
﹢C
1
x﹢C
2
．又因f(0)＝0，f
’
(0)＝1，所以C
1
＝1，C
2
＝0．从而
﹢C
1
x﹢C
2
．又因f(0)＝0，f
’
(0)＝1，所以C
1
＝1，C
2
＝0．从而