设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f"(x)+x
2
y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
【正确答案】正确答案：由于[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f"(x)+x
2
y]dy=0是全微分方程，则
即 x
2
+2xy一f(x)=f"(x)+2xy f"(x)+f(x)=x
2
这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+x
2
一2 由f(0)=1及f"(0)=1，可求得C
1
=2，C
2
=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x
2
一2 于是原方程为 [xy
2
一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+COSX+2x+x
2
y)dy=0 其通解是
即 x
2
+2xy一f(x)=f"(x)+2xy f"(x)+f(x)=x
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这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+x
2
一2 由f(0)=1及f"(0)=1，可求得C
1
=2，C
2
=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x
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一2 于是原方程为 [xy
2
一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+COSX+2x+x
2
y)dy=0 其通解是
【答案解析】