问答题
设f(x)在x
0
处n阶可导，且f
(m)
(x
0
)=0(m=1，2，…，n－1)，f
(n)
(x
0
)≠0(n≥2)，证明：
(1)当n为偶数且f
(n)
(x
0
)＜0时，f(x)在x
0
取得极大值；
(2)当n为偶数且f
(n)
(x
0
)＞0时，f(x)在x
0
取得极小值．
【正确答案】正确答案：n为偶数，令n=2k，构造极限
(1)当f
(2k)
(x
0
)＜0时，由极限保号性=>存在x
0
的某个去心邻域
=>f(x)＜f(x
0
)，故x
0
为极大值点． (2)当f
(2k)
(x
0
)＞0时，由极限保号性=>存在x
0
的某个去心邻域
(1)当f
(2k)
(x
0
)＜0时，由极限保号性=>存在x
0
的某个去心邻域
=>f(x)＜f(x
0
)，故x
0
为极大值点． (2)当f
(2k)
(x
0
)＞0时，由极限保号性=>存在x
0
的某个去心邻域
【答案解析】