【正确答案】当甲、乙、丙三种产品的产量分别为x，y，z(吨)时出售这些产品的总利润函数(单位：万元)是
F(x，y，z)=P₁x+P₂y+P3z-C(x，y，x)
=(18-x)x+(25-2y)y+(12-z)z-2x-y-2z-30
令[*]
可得唯一驻点x=8，y=6，z=5，因驻点唯一且实际问题必有最大利润，故计算结果表明当甲、乙、丙三种产品的产量分别为8吨，6吨与5吨时厂家可取得最大利润。

【正确答案】当限制甲、乙、丙这三种产品的总产量为16吨时，应求总利润函数F(x，y，z)在约束条件x+y+z-16=0下的最大值点，为此引入拉格朗日函数
G(x，y，z，λ)=F(x，y，z)+λ(x+y+z-16)，
并令
[*]
从①，②，③式中消去λ可得2y-x=4与2y-z=7，即x=2y-4，z=2y-7，把它们代入④式可解得y=5.4(吨)，从而x=6.8(吨)，z=3.8(吨)。
因驻点唯一，且实际问题在限定总产量为16吨时必有最大利润，故计算结果表明：当甲、乙、丙三种产品的产量分别为6.8吨，5.4吨与3.8吨时厂家可取得限制总产量时的最大利润。