问答题
设u=u(x，y)在全平面上有连续偏导数，
问答题
作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，求
与
与
【正确答案】由复合函数求导法[*]
[*]
【答案解析】
问答题
若
【正确答案】由题(Ⅰ)，[*](r＞0)．
又u(rcosθ，rsinθ)对r在[0，+∞)上连续[*](x，y)，有
u(x，y)=u(rcosθ，rsinθ)=u(rcosθ，rsinθ)|r=0=u(0，0)．
又u(rcosθ，rsinθ)对r在[0，+∞)上连续[*](x，y)，有
u(x，y)=u(rcosθ，rsinθ)=u(rcosθ，rsinθ)|r=0=u(0，0)．
【答案解析】
问答题
若
(x2+y2≥R2＞0)，求证：
(x2+y2≥R2＞0)，求证：
【正确答案】由题(Ⅰ)，有[*]．对r从R到r积分得
[*]
注意，u(Rcosθ，Rsinθ)对θ在[0，2π]上连续，故有界．
又由[*]
因此[*]
【答案解析】
问答题
计算二重积分
，其中积分区域D是由曲线
，其中积分区域D是由曲线
【正确答案】[解一] 积分区域D可表示为{(x，y)|0≤x≤2，[*]}，如图，则有
[*]
[*]
[*]
而
[*]
[*]
代人即得所求二重积分
[*]
[解二] 为简化计算将积分区域D表示为D=D1＼D2，其中Dl是上半圆域(x-2)2+y2≤4且y≥0中横坐标满足0≤x≤2的四分之一圆域，即D1={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤[*]}，D2是上半圆域(x-1)2+y2≤1且y≥0，即D2={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤[*]}，从而
[*]
为了计算二重积分I1，I2简便起见，可分别在D1与D2上作适当的平移变换，而后再作极坐标变换．
对于I1，令u=x-2，υ=y[*]x=u+2，y=υ，则D1变成
D'1={(u，υ)|u2+υ2≤4，υ≥0，-2≤u≤0}．
令u=rcosθ，υ=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中[*]，dσ=rdrdθ，
故[*]
对于I2，令u=x-1，υ=y[*]x=u+1，y=υ，则D2变成
D'2={(u，υ)|u2+υ2≤1，υ≥0}，
令u=rcosθ，υ=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中D'2={(r，θ)|0≤θ≤π，0≤r≤1}，dσ=rdrdθ，
故
[*]
由此可得
[*]
[*]
[*]
[*]
而
[*]
[*]
代人即得所求二重积分
[*]
[解二] 为简化计算将积分区域D表示为D=D1＼D2，其中Dl是上半圆域(x-2)2+y2≤4且y≥0中横坐标满足0≤x≤2的四分之一圆域，即D1={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤[*]}，D2是上半圆域(x-1)2+y2≤1且y≥0，即D2={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤[*]}，从而
[*]
为了计算二重积分I1，I2简便起见，可分别在D1与D2上作适当的平移变换，而后再作极坐标变换．
对于I1，令u=x-2，υ=y[*]x=u+2，y=υ，则D1变成
D'1={(u，υ)|u2+υ2≤4，υ≥0，-2≤u≤0}．
令u=rcosθ，υ=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中[*]，dσ=rdrdθ，
故[*]
对于I2，令u=x-1，υ=y[*]x=u+1，y=υ，则D2变成
D'2={(u，υ)|u2+υ2≤1，υ≥0}，
令u=rcosθ，υ=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中D'2={(r，θ)|0≤θ≤π，0≤r≤1}，dσ=rdrdθ，
故
[*]
由此可得
[*]
【答案解析】