解答题
1.(2000年)设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有
其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且
其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且
【正确答案】由题设条件，可以用高斯公式：
其中，Ω为S所围成的有界闭区域，当S的法向量指向Ω外时，“±”中取“+”；当S的法向量指向Ω内时，“±”中取“一”。由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数，即
xf′(x)+f(x)一xf(x)一e2x=0(x＞0)，
变形后得
这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为
由于
故必有
(否则不能满足极限值为1)，即C+1=0，从而C=一1。因此，
其中，Ω为S所围成的有界闭区域，当S的法向量指向Ω外时，“±”中取“+”；当S的法向量指向Ω内时，“±”中取“一”。由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数，即
xf′(x)+f(x)一xf(x)一e2x=0(x＞0)，
变形后得
这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为
由于
故必有(否则不能满足极限值为1)，即C+1=0，从而C=一1。因此，【答案解析】