解答题
19.设函数f(x)在[0，1]上非负连续，且f(0)=f(1)=0，证明对实数a(0＜a＜1)，必有ξ∈[0，1)使f(ξ+a)=f(ξ)．
【正确答案】令F(x)=f(x+a)-f(x)．因为f(x)在[0，1]上非负连续，f(x+a)应在[-a，1-a]上非负连续，于是F(x)
在[0，1-a]上连续．且
F(0)=f(a)-f(0)=f(a)≥0，
F(1-a)=f(1)-f(1-a)=-f(1-a)≤0．
(1)若F(0)=0，则ξ=0即为所求；
(2)若F(1-a)=0，则ξ=1-a即为所求；
(3)若F(0)≠0且F(1-a)≠0，则由零点定理，必存在
在[0，1-a]上连续．且
F(0)=f(a)-f(0)=f(a)≥0，
F(1-a)=f(1)-f(1-a)=-f(1-a)≤0．
(1)若F(0)=0，则ξ=0即为所求；
(2)若F(1-a)=0，则ξ=1-a即为所求；
(3)若F(0)≠0且F(1-a)≠0，则由零点定理，必存在
【答案解析】