问答题
已知A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)
T
+k
1
(1，0，2，1)
T
+k
2
(2，1，1，-1)
T
．
问答题
令B=(α
1
，α
2
，α
3
)，求Bx=b的通解；
【正确答案】
【答案解析】先求Bx=0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩．
由题目的已知信息可得：Ax=0的基础解系中含有两个向量，故4-r(A)=2，也即r(A)=2，而由(1，0，2，1)
T
是Ax=0的解可得α
1
+2α
3
+α
4
=0，故α
4
=-α
1
-2α
3
．可知α
4
能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，故r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=r(α
1
，α
2
，α
3
)=r(B)，也即r(B)=2．因此Bx=0的基础解系中仅含一个向量，求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系．
由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Ax=0的解，可知3α
1
+α
2
+3α
3
=0，因此(3，1，3)
T
为Bx=0的解，也即(3，1，3)
T
为Bx=0的基础解系．
最后，再求Bx=b的任何一个特解即可．只需使得Ax=b的通解中α
1
的系数为0即可，为此，令(1，1，1，1)
T
+k
1
(1，0，2，1)
T
+k
2
(2，1，1，-1)
T
中k
1
=0，k
2
=1，得(3，2，2，0)
T
是Ax=b的一个解，故(3，2，2)
T
是Bx=b和一个解．
可知Bx=b的通解为(3，2，2)
T
+k(3，1，3)
T
，k∈R．
问答题
令C=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，b)，求Cx=b的通解．
【正确答案】
【答案解析】两小题类似，先求Cx=0的基础解系．
由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵，故r(C)=r(A)=2，可知Cx=0的基础解系中含有5-2=3个线性无关的解向量，为此，需要找出Cx=0的三个线性无关的解．
由于(1，0，2，1)
T
，(2，1，1，-1)
T
均为Ax=0的解，可知(1，0，2，1，0)
T
，(2，1，1-1，0)
T
均为Cx=0的解．而(1，1，1，1)
T
为Ax=b的解，可知α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=b，也即α
1
+α
2
+α
3
+α
4
-b=0．故(1，1，1，1，-1)
T
也为Cx=0的解．
这样，我们就找到了Cx=0的三个解：(1，0，2，1，0)
T
，(2，1，1，-1，0)
T
，(1，1，1，1，-1)
T
，容易验证它们是线性无关的。故它们即为Cx=0的基础解系．
最后，易知(0，0，0，0，1)
T
为Cx=b的解，故Cx=b的通解为
(0，0，0，0，1)
T
+k
1
(1，0，2，1，0)
T
+k
2
(2，1，1，-1，0)
T
+k
3
(1，1，1，1，-1)
T
，k
i
∈R，i=1，2，3．
[考点] 求解抽象型线性方程组．
[解析] 对于抽象型线性方程组，通常利用解的结构求解．