解答题
12.若函数f(x，y)对任意正实数t，满足
f(tx，ty)=tnf(x，y)， (*)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数
=nf(x，y)． (**)
f(tx，ty)=tnf(x，y)， (*)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数
=nf(x，y)． (**)
【正确答案】设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得
f(tx，ty)=tnf(x，y)(
t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得
xf'1(tx，ty)+yf'2(tx，ty)=ntn－1f(x，y)(
t＞0)，
令t=1，则xf'x(x，y)+yf'y(x，y)=nf(x，y)．
现设上式成立．考察φ(t)=f(tx，ty)／tn (
t＞0)，由复合函数求导法则可得
φ'(t)=1／tn[xf'1(tx，ty)+yf'2(tx，ty)]－
f(tx，ty)=tnf(x，y)(
t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得xf'1(tx，ty)+yf'2(tx，ty)=ntn－1f(x，y)(
t＞0)，令t=1，则xf'x(x，y)+yf'y(x，y)=nf(x，y)．
现设上式成立．考察φ(t)=f(tx，ty)／tn (
t＞0)，由复合函数求导法则可得φ'(t)=1／tn[xf'1(tx，ty)+yf'2(tx，ty)]－
【答案解析】