解答题 18.设齐次线性方程组有非零解,A=为正定矩阵,求a,并求当|X|=
【正确答案】因为方程组有非零解,所以=a(a+1)(a-3)=0,即a=-1或a=0或a=3.因为A是正定矩阵,所以aii>0(i=1,2,3),所以a=3.当a=3时,由
|λE-A|==(λ-1)(λ-4)(λ-10)=0
得A的特征值为1,4,10.因为A为实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q,使得
f=XTAXy12+4y22+10y32≤10(y12+y22+y32)
而当|X|=时,
y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=|X|2=2
所以当|X|=时,XTAX的最大值为20(最大值20可以取到,如y1=y2=0,y3
【答案解析】