解答题
(Ⅰ)A是n阶实对称矩阵．λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A的分别对应于λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量．证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和；
(Ⅱ)设
(Ⅱ)设
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)[证] 令Q=(ξ1，ξ2，…，ξn)，则Q是标准正交矩阵．且
其中
，i=1，2，…，n．
故A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和．
(Ⅱ)[解]
故A有特征值λ1=-4，λ2=2，λ3=5．
当λ=-4时，
当λ=2时，
当λ=5时，
故
其中
，i=1，2，…，n．故A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和．
(Ⅱ)[解]
故A有特征值λ1=-4，λ2=2，λ3=5．
当λ=-4时，
当λ=2时，
当λ=5时，
故