【正确答案】 A

【答案解析】[考点] 函数、极限 选项D错误．取f(x)=x，则f(x)为(-∞，+∞)上的单调递增函数，再取，而F(x)在(-∞，+∞)上不是单调递增函数． 选项C错误．取f(x)=1+cosx，则f(x)是周期为2π的周期函数，再取F(x)=x+sinx，则F(x)不是周期函数．下面用反证法证明F(x)=x+sinx不是周期函数． 若F(x)=x+sinx是周期函数，则存在T＞0，使得对任意的正整数n．F(x+nT)=F(x)，即(x+nT)+sin(x+nT)=x+sinx，整理得nT=sinx-sin(x+nT)≤|sinx|+|sin(x+nT)|≤2，而当n充分大时，nT必大于2，矛盾． 最后讨论选项A与B．因为F(x)是f(x)的一个原函数，所以由原函数存在定理，可设，其中C0为常数，于是 当f(x)为奇函数时，由式①知F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，故选项A正确． 当f(x)为偶函数，且C0≠0时，由式①得 即F(x)不是奇函数，故选项B错误． 再如，取f(x)=x2，，则F(x)是f(x)的一个原函数，但F(0)=10086≠0，故F(x)不是奇函数，所以选项B错误． 故正确答案为选项A．