单选题
设函数f
i
(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且f"
i
(x
0
)＜0(i=1，2)，若两条曲线y=f
i
(x)(i=1，2)在点(x
0
，y
0
)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f
1
(x)的曲率大于曲线y=f
2
(x)的曲率，则在x
0
的某个邻域内有______
【正确答案】
A
【答案解析】[考点] 函数连续及极限的保号性
[解析] 由题意可知，f"
i
(x)连续且f"
i
(x)(x
0
)＜0，又依据连续的定义和极限的保号性，在x
0
的某邻域U(x
0
)内有f"
i
(x)＜0，故f
i
(x)在U(x
0
)内是凸的．
又由于在x=x
0
处具有公切线y=g(x)，因此曲线与切线的位置关系为f
i
(x)≤g(x)．
又由于在x
0
处y=f
1
(x)的曲率大于y=f
2
(x)的曲率，所以f"
1
(x
0
)＜f"
2
(x
0
)＜0．
令F(x)=f
1
(x)-f
2
(x)，因为在x=x
0
处具有公切线y=g(x)，所以F(x
0
)=0，F"(x
0
)=0．
再由F"(x
0
)＜0，得F(x
0
)=0为F(x)的极大值，因在x
0
的某邻域U
1
(x
0
)内F(x)≤0，所以f
1
(x)≤f
2
(x)．
故f
1
(x)≤f
2
(x)≤g(x)，选A．