【答案解析】[证明] A为三阶矩阵，
r(A)=r(αβ
T
+βα
T
)≤r(αβ
T
)+r(βα
T
)≤r(α)+r(β)≤2＜3，故|A|=0．
[解析] 利用r(B+C)≤r(B)+r(C)，r(BC)≤r(B)，r(C)，证明r(A)＜3
问答题
α+β，α-β是A的特征向量
【正确答案】
【答案解析】因α，β为三维单位正交向量，故
α
T
α=1，β
T
β=1，αβ
T
=βα
T
=0．
当然α，β线性无关，又α，β为单位向量，α+β≠0，故
A(α+β)=(αβ
T
+βα
T
)(α+β)=αβ
T
α+αβ
T
β+βα
T
α+βα
T
β
=α·0+α·1+β·1+β·0=α+β，
即α+β为A的对应于特征值λ
1
=1的特征向量．同法可求
A(α-β)=(αβ
T
+βα
T
)(α-β)=αβ
T
α-αβ
T
β+βα
T
α-βα
T
β
=α·0-α·1+β·1-β·0=-(α-β)，
故α-β为A的对应于特征值λ
2
=-1的特征向量．
设另一特征值为λ
3
，由|A|=0得到|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=0，故λ
3
=0．
[解析] 利用特征向量的定义，即利用A(α+β)=k(α+β)，A(α-β)=C(α-β)证之