问答题
设f(x)是在[a,b]上的连续、严格单调函数，在(a,b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)，试证：在(a,b)内必存在n个不同的点ηi(i=1,2，…,n)，
【正确答案】将[a,b]n等分，分点为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b，
于是
由于f(x)在[a,b]上连续，严格单调，f(a)=a，f(b)=b，故由连续函数介值定理，有
f(ξi)=xi，i=1，2，…，n．
令ξ0=a，ξn=b，由单调性，有
ξ0＜ξ1＜ξ2＜…＜ξn，
在每一个[ξi-1，ξi]上应用拉格朗日中值定理，有
于是
由于f(x)在[a,b]上连续，严格单调，f(a)=a，f(b)=b，故由连续函数介值定理，有
f(ξi)=xi，i=1，2，…，n．
令ξ0=a，ξn=b，由单调性，有
ξ0＜ξ1＜ξ2＜…＜ξn，
在每一个[ξi-1，ξi]上应用拉格朗日中值定理，有
【答案解析】[分析] 利用连续函数性质及拉格朗日中值定理证之．