设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域R
t
＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为
∫
0
t
f
2
(χ)dχ／∫
0
t
f(χ)dχ 而相应的曲边梯形的面积为∫
0
t
f(χ)dχ．见图6．2．按题意
即∫
0
t
f
2
(χ)dχ＝2[∫
0
t
f(χ)dχ]
2
＋∫
0
t
f(χ)dχ(χ≥0)． ① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则 方程①
f
2
(t)＝4f(t)∫
0
t
f(χ)dχ＋f(t)
f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ② (①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)． f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得 方程
(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e
－∫4dt
∫
0
t
f
2
(χ)dχ／∫
0
t
f(χ)dχ 而相应的曲边梯形的面积为∫
0
t
f(χ)dχ．见图6．2．按题意
即∫
0
t
f
2
(χ)dχ＝2[∫
0
t
f(χ)dχ]
2
＋∫
0
t
f(χ)dχ(χ≥0)． ① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则 方程①
f
2
(t)＝4f(t)∫
0
t
f(χ)dχ＋f(t)
f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ② (①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)． f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得 方程
(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e
－∫4dt
【答案解析】