问答题
f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0.证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f"""(ξ)=3.
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由泰勒公式得
两式相减得f"""(ξ 1 )+f"""(ξ 2 )=6.
因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f"""(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]上连续，由连续函数最值定理，f"""(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"""(ξ 1 )+f"""(ξ 2 )≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ 1 ，ξ 2 ]
两式相减得f"""(ξ 1 )+f"""(ξ 2 )=6.
因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f"""(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]上连续，由连续函数最值定理，f"""(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"""(ξ 1 )+f"""(ξ 2 )≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ 1 ，ξ 2 ]