【正确答案】[详解] (1)由题设A的三个特征值为λ₁=λ₂=-1，λ₃=2，且|A|=λ₁λ₂λ₃=2．又由A^*α=α，知AA^*α=Aα，Aα=|A|α=2α，
可见是属于特征值λ₃=2的一个特征向量．
设λ₁=λ₂=-1的特征向量为，则由A为实对称矩阵知x^Tα₃=0，即-x₁-x₂+x₃=0．
解得，将α₁，α₂正交化：

再将β₁，β₂，α₃单位化：

则即为所求正交矩阵．
(2)由Aα_i=λ_iα_i，有A[α₁，α₂，α₃]=[λ₁α₁，λ₂α₂，λ₃α₃]，
于是 A=[λ₁α₁，λ₂α₂，λ₃α₃][α₁，α₂，α₃]^-1

从而

【答案解析】[分析] (1)由A^*α=α，立即想到利用AA^*=|A|E化简，先得到A的属于一个特征值的特征向量，再利用正交性，可求出A的所有特征向量，从而可确定正交矩阵Q；(2)注意利用(A^*)^-1=[*]
又[*]，知(A^*)^-1的特征值为[*]，即[*]故(A^*)^-1的正惯性指数为1，负惯性指数为2．
[评注] 本题A为实对称矩阵，其常用性质是：不同特征值对应特征向量正交，正是利用这一性质，可由一部分特征值的特征向量求另一部分特征值的特征向量．