过坐标原点作曲线y=lnxc的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D． (1)求D的面积／4； (2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V。
【正确答案】正确答案：(1)设切点的横坐标为x
0
，则曲线y=lnx在点(x
0
，lnx
0
)处的切线方程是 y=lnx
0
+
(x—x
0
)． 由该切线过原点知lnx
0
一1=0，从而x
0
=e，所以该切线的方程为
(2)切线y=
与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为 V
1
=
πe， 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V
2
=∫
0
1
π(e—e
y
)
2
dy， 因此所求旋转体的体积为 V=V
1
一V
2
=
(x—x
0
)． 由该切线过原点知lnx
0
一1=0，从而x
0
=e，所以该切线的方程为
(2)切线y=
与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为 V
1
=
πe， 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V
2
=∫
0
1
π(e—e
y
)
2
dy， 因此所求旋转体的体积为 V=V
1
一V
2
=
【答案解析】