问答题
假设随机变量X和Y的数学期望都等于1，方差皆为2，其相关系数为0.25，求随机变量U=X+2Y和V=X-2Y的相关系数ρ．
【正确答案】首先求U和V的数学期望和方差．
EU=E(X+2Y)=3， EV=E(X-2Y)=-1；
由条件知
cov(X，-2Y)=-2cov(X，Y)=-1，
cov(X，2Y)=2cov(X，Y)=1；
DU=D(X+2Y)=DX+4DY+2cov(X，2Y)=12，
DV=D(X-2Y)=DX+4DY+2cov(X，-2Y)=8．
注意到UV=X2-4Y2，EX2=EY2=DY+(EY)2=3，有
cov(U，V)=EUV-EUEV=E(X2-4Y2)-EUEV
=EX2-4EY2-EUEV=3-12+3=-6．
从而，随机变量U=X+2Y和V=X-2Y的相关系数
EU=E(X+2Y)=3， EV=E(X-2Y)=-1；
由条件知
cov(X，-2Y)=-2cov(X，Y)=-1，
cov(X，2Y)=2cov(X，Y)=1；
DU=D(X+2Y)=DX+4DY+2cov(X，2Y)=12，
DV=D(X-2Y)=DX+4DY+2cov(X，-2Y)=8．
注意到UV=X2-4Y2，EX2=EY2=DY+(EY)2=3，有
cov(U，V)=EUV-EUEV=E(X2-4Y2)-EUEV
=EX2-4EY2-EUEV=3-12+3=-6．
从而，随机变量U=X+2Y和V=X-2Y的相关系数
【答案解析】