问答题
已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．
证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
【正确答案】[证明] 因为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，因此α4可由α1，α2，α3线性表出，设为α4=l1α1+l2α2+l3α3．
若k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0，即
(k1-l1k4)α1+(k2-l2k4)α2+(k3-l3k4)α3+k4α5=0，
由于r(Ⅲ)=4，即α1，α2，α3，α5线性无关．故必有
解出k4=0，k3=0，k2=0，k1=0．于是α1，α2，α3，α5-α4线性无关．即其秩为4．
若k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0，即
(k1-l1k4)α1+(k2-l2k4)α2+(k3-l3k4)α3+k4α5=0，
由于r(Ⅲ)=4，即α1，α2，α3，α5线性无关．故必有
解出k4=0，k3=0，k2=0，k1=0．于是α1，α2，α3，α5-α4线性无关．即其秩为4．
【答案解析】