问答题
已知η是Ax=b的一个特解，ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n-r
是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明：
问答题
η，η+ξ
1
，η+ξ
2
，…，η+ξ
n-r
，是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量；
【正确答案】正确答案：A(η+ξ
i
)=Aη=b，i=0，1，2，…，n一r(其中ξ
0
=0)，故η+ξ
i
，i=0，1，2，…，n一r均 是Ax=b的解向量． 设存在数k
0
，k
1
，k
2
，…，k
n-r
使得 k
0
η+k
1
(η+ξ
1
)+k
2
(η+ξ
2
)+…+k
n-r
(η+ξ
n-r
)=0． (*) (*)式两端左边乘A，得 k
0
Aη+k
1
A(η+ξ
1
)+k
2
A(η+ξ
2
)+…+k
n-r
A(η+ξ
n-r
)=0， 整理得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0，其中b≠0．故 k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0， (**) 代入(*)式，得 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0． 因ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n-r
是对应齐次方程组的基础解系，故线性无关，得k
i
=0，i=1，2，…，n-r．代入(**)式，得k
0
=0．从而有η，η+ξ
1
，η+ξ
2
，…，η+ξ
n-r
是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量．
【答案解析】
问答题
方程组Ax=b的任一解均可由η，η+ξ
1
，…，η+ξ
n-r
线性表出．
【正确答案】正确答案：设η
*
为Ax=b的任一解，则 η
*
=η+λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+…+λ
n-r
ξ
n-r
， 且 η
*
=η+λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+…+λ
n-r
ξ
n-r
， =η+λ
1
(ξ
1
+η-η)+λ
2
(ξ
2
+η一η)+…+λ
n-r
(ξ
n-r
+η-η) =(1一λ
1
—λ
2
一…一λ
n-r
)η+λ
1
(ξ
1
+η)+λ
2
(ξ
2
+η)+…+λ
n-r
(ξ
n-r
+η)， 故Ax=b的任一个解η
*
均可由向量组η，η+ξ
1
，η+ξ
2
，…，η+ξ
n-r
线性表出．
【答案解析】