【正确答案】
【答案解析】【证】构造辅助函数F(x)=f(x)e
x
，由于f(x)可导，故F(x)可导，设x
1
和x
2
为f(x)的两个零点，且x
1
＜x
2
，则F(x)在[x
1
，x
2
]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(x
1
，x
2
)，使得F"(ξ)=0，即f"(ξ)e
ξ
+f(ξ)e
ξ
=e
ξ
[f"(ξ)+f(ξ)]=0．
由于e
ξ
≠0，因此必有f"(ξ)+f(ξ)=0．
[解析] f(x)的两个零点x
1
，x
2
(不妨设x
1
＜x
2
)之间有f(x)+f"(x)的零点问题，相当于在(x
1
，x
2
)内有f(x)+f"(x)=0的点存在的问题．若能构造一个函数F(x)，使F"(x)=[f(x)+f‘(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，则问题可以得到解决．由(e
x
)"=e
x
可以得到启发，令F(x)=f(x)e
x
．