解答题
[2002年] 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．
问答题
23.设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式．
【正确答案】由梯度的几何意义知，h(x，y)在点M(x0，y0)处沿梯度
gradh(x，y)｜(x0，y0)=(y0一2x0)i+(x0一2y0)j
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
g(x0，y0)=
gradh(x，y)｜(x0，y0)=(y0一2x0)i+(x0一2y0)j
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
g(x0，y0)=
【答案解析】
问答题
24.现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出使上一题中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．
【正确答案】所求的攀登起点(x，y)是二元函数
满足75一x2一y2+xy=0的极大值点．此为条件极值问题．
由于待求极值的函数g(x，y)比较复杂，可采用平方的方法将函数g(x，y)转化为极值点易求的函数求之．显然，直接求函数
的极值点比较复杂．由于g2(x，y)与g(x，y)同在相等的点取极值，故下面用求g2(x，y)的极值点代替求g(x，y)的极值点．为此，构造拉格朗日函数：
F(x，y，λ)=g2(x，y)+λh(x，y)=5x2+5y2-8xy+λ(75-x2-y2+xy)，
则
将式①乘以(x一2y)，式②乘以(y一2x)，比较两式，可得
(10x-8y)(x-2y)=(10y-8x)(y一2x)， y2=x2， y=±x．
将y=±x代入式③得75-2x2±x2=0．因此
，x=±5．相应地，
，y=±5．
于是得到4个可能的极值点：
满足75一x2一y2+xy=0的极大值点．此为条件极值问题．由于待求极值的函数g(x，y)比较复杂，可采用平方的方法将函数g(x，y)转化为极值点易求的函数求之．显然，直接求函数
的极值点比较复杂．由于g2(x，y)与g(x，y)同在相等的点取极值，故下面用求g2(x，y)的极值点代替求g(x，y)的极值点．为此，构造拉格朗日函数：F(x，y，λ)=g2(x，y)+λh(x，y)=5x2+5y2-8xy+λ(75-x2-y2+xy)，
则
将式①乘以(x一2y)，式②乘以(y一2x)，比较两式，可得
(10x-8y)(x-2y)=(10y-8x)(y一2x)， y2=x2， y=±x．
将y=±x代入式③得75-2x2±x2=0．因此
，x=±5．相应地，，y=±5．于是得到4个可能的极值点：
【答案解析】