计算题
17.假设父母和一个孩子之间进行如下博弈，孩子采取行动A，给孩子带来收入为IC(A)，给父母带来收入为Ip(A)，其中IC(A)可视作扣除行动A成本的净收入。父母观察到收入IC和Ip后，选择留给孩子遗产收入B，此时孩子的效用为U(IC+B)，父母的效用为V(IC－B)+kU(IC+B)，k＞0，k表示父母对孩子的关心程度。假设A≥0，收入函数IC(A)和Ip(A)是严格凹的，且分别在AC＞0，Ap＞0时取得最大值。遗产可以为正，也可以为负，效用函数U，V都是递增的严格凹的函数。证明：在子博弈完美均衡中，孩子选择的行动将使家庭收入IC(A)+Ip(A)最大化。(2016年复旦大学856经济学综合基础)
【正确答案】假设家庭收入为I，即I=Ic+Ip。那么家庭收入最大化的一阶条件为
I'(A)=I'c(A)+I'p(A)=0 (1)
因为父母是在孩子作出行动A后，按照自身目标函数的最大化决定行动B的数值。可以参照价格领导模型，先写出父母对孩子决策的反应函数，再将反应函数代入孩子的最大化决策中，来确定孩子的最大化抉择。
由题意可得，父母的目标函数为
max{V(Ip－B)+kU(Ic+B)) (2)
对目标函数求关于B的一阶导数，由此可以得到父母对孩子决策A的反应函数
－V'(Ip－B)+kU'(Ic+B)=0 (3)
从而孩子的目标函数为
maxU(Ic+B) (4)
则孩子的最大化决策为
将(3)式对A求导，可得
代入(5)得
I'(A)=I'c(A)+I'p(A)=0 (1)
因为父母是在孩子作出行动A后，按照自身目标函数的最大化决定行动B的数值。可以参照价格领导模型，先写出父母对孩子决策的反应函数，再将反应函数代入孩子的最大化决策中，来确定孩子的最大化抉择。
由题意可得，父母的目标函数为
max{V(Ip－B)+kU(Ic+B)) (2)
对目标函数求关于B的一阶导数，由此可以得到父母对孩子决策A的反应函数
－V'(Ip－B)+kU'(Ic+B)=0 (3)
从而孩子的目标函数为
maxU(Ic+B) (4)
则孩子的最大化决策为
将(3)式对A求导，可得
代入(5)得
【答案解析】