【正确答案】正确答案：设φ(x)=∫ ₀ ^x (t一t ² )sin ²ⁿ tdt，由φ'(x)=(x一x ² )sin ²ⁿ x=0，得x=1，x=kπ(k=1，2，…)。 因为当x∈(0，1)时，φ'(x)＞0；当x＞1时，φ'(x)≤0。所以x=1为函数φ(x)=∫ ₀ ^x (t一t ² )sin ²ⁿ tdt 在(0，+∞)上的最大值点，最大值为 M=φ(1)=∫ ₀ ¹ (t—t ² )sin ²ⁿ tdt≤∫ ₀ ¹ (t—t ² )t ²ⁿ dt=∫ ₀ ¹ (t ²ⁿ⁺¹ —t ²ⁿ⁺² )= ， 故∫ ₀ ^x (t—t ² )sin2ntdt≤