解答题
18.设A是n阶反对称矩阵，
(I)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；
(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；
(Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．
(I)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；
(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子；
(Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．
【正确答案】(I)按反对称矩阵定义：AT=一A，那么
｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)n｜A｜，即[1一(一1)n]｜A｜=0．
若n=2k+l，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数．
因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有
(A*)T=(AT)*=(一A)*．
又因(kA)*=kn-1A*，故当n=2k+1时，有
(A*)T=(一1)2kA*=A*，
即A*是对称矩阵．
(Ⅱ)例如，
｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(一1)n｜A｜，即[1一(一1)n]｜A｜=0．
若n=2k+l，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数．
因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有
(A*)T=(AT)*=(一A)*．
又因(kA)*=kn-1A*，故当n=2k+1时，有
(A*)T=(一1)2kA*=A*，
即A*是对称矩阵．
(Ⅱ)例如，
【答案解析】