【正确答案】 A、B、D

【答案解析】 根据《仲裁法》第31条规定，当事人约定由三名仲裁员组成仲裁庭的，应当各自选定或者各自委托仲裁委员会主任指定一名仲裁员，第三名仲裁员由当事人共同选定或者共同委托仲裁委员会主任指定。第三名仲裁员是首席仲裁员。因此A选项中，A食品厂只能自己选定一名仲裁员，首席仲裁员必须由A食品厂与B商厦共同选定或者共同委托仲裁委员会主任指定。同样根据《仲裁法》第31条规定，B选项中首席仲裁员不能由其他仲裁员推举，而应由王某和付某共同选定或者共同委托仲裁委员会主任指定。D项中首席仲裁员没有指定其他仲裁员的权利。根据《仲裁法》第32条规定，当事人没有在仲裁规则规定的期限内约定仲裁庭的组成方式或者选定仲裁员的，由仲裁委员会主任指定。可知只有仲裁委员会主任可以指定仲裁员，前提是当事人没有在规定的期限内约定仲裁庭的组成方式或者选定仲裁员，而不能是其他理由。故C项正确。