解答题
19.设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：
【正确答案】因为f(x)在[a，b]上连续，所以｜f(x)｜在[a，b]上连续，令
根据积分中值定理，
，其中ξ∈[a，b]．
由积分基本定理，f(c)=f(e)+∫ξcf'(x)如，取绝对值得
｜f(f)｜≤｜f(ξ)｜+｜∫ξcf'(x)dx｜≤｜f(ξ)｜+∫ab｜f'(x)｜dx，即
根据积分中值定理，
，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)=f(e)+∫ξcf'(x)如，取绝对值得
｜f(f)｜≤｜f(ξ)｜+｜∫ξcf'(x)dx｜≤｜f(ξ)｜+∫ab｜f'(x)｜dx，即
【答案解析】