问答题
试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微的充分条件还是必要条件．
(1)二元函数的极限
存在；
(2)二元函数z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某个邻域内有界；
(3)
(4)F(x)=f(x，y 0 )在点x 0 处可微，G(y)=f(x 0 ，y)在点y 0 处可微；
(5)
(6)
(1)二元函数的极限
存在；
(2)二元函数z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某个邻域内有界；
(3)
(4)F(x)=f(x，y 0 )在点x 0 处可微，G(y)=f(x 0 ，y)在点y 0 处可微；
(5)
(6)
【正确答案】
【答案解析】【解】结论(1)～(4)中每一个分别都是x=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微的必要条件，而非充分条件．而结论(5)是其既非充分也非必要条件，结论(6)是其充分非必要条件．
因z=f(x，y)在点P 0 (x 0 ，y 0 )处可微，故z=f(x，y)在点P 0 (x 0 ，y 0 )处连续，即
f(x
0
，y
0
)，则极限
必存在，于是z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)某邻域内有界．
结论(3)表示一元函数F(x)=f(x，y 0 )在x 0 处连续，G(y)=f(x 0 ，y)在y 0 处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的必要条件，而非充分条件．而z=f(x，y)在点P 0 (x 0 ，y 0 )处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件．
只要在z=f(x，y)，)在P 0 (x 0 ，y 0 )的全微分定义
中取特殊情况，分别令Δy=0与Δx=0即证得结论(4)．
结论(5)的
表示偏导函数
在y=y
0
时的一元函数
在x
0
处连续，它仅是二元偏导函数
在P
0
(x
0
，y
0
)处连续的一个必要条件，对
有类似的结果．而z=f(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)处可微又是
在P
0
(x
0
，y
0
)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件·
结论(6)的等价形式是
因z=f(x，y)在点P 0 (x 0 ，y 0 )处可微，故z=f(x，y)在点P 0 (x 0 ，y 0 )处连续，即
f(x
0
，y
0
)，则极限
必存在，于是z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)某邻域内有界．
结论(3)表示一元函数F(x)=f(x，y 0 )在x 0 处连续，G(y)=f(x 0 ，y)在y 0 处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点P 0 (x 0 ，y 0 )处连续的必要条件，而非充分条件．而z=f(x，y)在点P 0 (x 0 ，y 0 )处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件．
只要在z=f(x，y)，)在P 0 (x 0 ，y 0 )的全微分定义
中取特殊情况，分别令Δy=0与Δx=0即证得结论(4)．
结论(5)的
表示偏导函数
在y=y
0
时的一元函数
在x
0
处连续，它仅是二元偏导函数
在P
0
(x
0
，y
0
)处连续的一个必要条件，对
有类似的结果．而z=f(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)处可微又是
在P
0
(x
0
，y
0
)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件·
结论(6)的等价形式是