设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα
3
=α
2
+α
3
，证明α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【正确答案】正确答案：(1)(用定义) 据已知条件有Aα
1
=-α
1
，Aα
2
=α
2
，Aα
3
=α
2
+α
3
．设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0， ① 用A左乘①式的两端，并代人已知条件，有 -k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
(α
2
+α
3
)=0． ② ①-②得 2k
1
α
1
-k
2
α
2
=0． 由于α
1
，α
2
是矩阵A不同特征值的特征向量，所以α
1
，α
2
线性无关，从而k
1
=0，k
3
=0． 将其代入①式得k
2
α
2
=0．因为α
2
是特征向量，必有α
2
≠0，从而k
2
=0． 因此，α
1
，α
2
，α
3
线性无关． (2)(用反证法) 设α
1
，α
2
，α
3
线性相关，由于α
1
，α
2
是矩阵A不同特征值的特征向量，所以 α
1
，α
2
必线性无关．从而α
3
可以由α
1
，α
2
线性表出．不妨设 α
3
=k
1
α
1
+k
2
α
2
， ① 用A左乘①式两端，并把Aα
3
=α
2
+α
3
，Aα
1
=-α
1
，Aα
2
=α
2
代入，得 α
2
+α
23
=-k
1
α
1
+k
2
α
2
． ② ①-②得 -α
2
=2k
1
α
1
． 由此得出α
1
，α
2
线性相关，与题设矛盾，故α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【答案解析】