解答题
f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，且f(-1)=0，f(1)=1，f'(0)=0.证明：存在ξ∈(-1，1)，使得f'''(ξ)=3.
【正确答案】
【答案解析】[证明] 由泰勒公式得
两式相减得f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=6.
因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f'''(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f'''(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f'''(ξ1)+f'''(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
两式相减得f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=6.
因为f(x)在[-1，1]上三阶连续可导，所以f'''(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定理，f'''(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f'''(ξ1)+f'''(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．
由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]